2.1 变化率与曲线的切线

#一、平均速度

Galileo 发现自由落体的距离公式为：

其中 $\frac{1}{2}g = 16$，因为重力加速度 $g \approx 32 \text{ ft/sec}^2$。

平均速度公式：

几何意义：平均速度 = 割线（secant line）的斜率。

#二、平均变化率

对任意函数 $y = f(x)$，在区间 $[x_1,\ x_1+h]$ 上的平均变化率为：

#三、瞬时变化率与切线斜率

核心思想： 让区间长度 $h$ 越来越小，平均变化率趋近的那个值，就是瞬时变化率。

当点 Q 沿曲线趋近点 P，割线旋转并趋近切线。

#四、求切线斜率的标准步骤

以 $y = x^2$ 在点 $P(a,\ a^2)$ 为例：

第一步： 展开 $f(a+h)$

第二步： 写出差商

第三步： 令 $h \to 0$

第四步： 写出切线方程（点斜式）

#五、典型例题

#例 1：自由落体平均速度

$y = 16t^2$，求 $t=0$ 到 $t=3$ 的平均速度：

#例 2：瞬时速度

$y = 16t^2$，求 $t_0 = 3$ 时的瞬时速度：

#例 3：切线方程

$y = x^2$ 在 $P(5,\ 25)$ 处：

切线方程：$y = 10x - 25$

#例 4：三次函数切线

$y = x^3$ 在 $P(2,\ 8)$ 处：

切线方程：$y = 12x - 16$

#六、重要提醒

$h \to 0$ 时，所有含 $h$ 的项全部消失，只保留常数项。

例如：$12 + 6h + h^2 \xrightarrow{h\to 0} 12$，不是 18。

比较蠢，容易在这个点算错😂